5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים – הדגמה ויזואלית של המשפטים בגיאומטריה לבגרות

5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים

14.    קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
           הנתונים:             הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC, כלומר, CD=DB וגם CE=EA.
           המסקנה:  הקטע DE מקביל לצלע השלישית BA (אותה אינו חותך) ושווה למחצית אורכה, כלומר: DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר: DE*2 = BA

 
דגשים:
           על מנת להגדיר את DE כקטע אמצעים, מספיקה העובדה שקטע זה חוצה את הצלעות CA ו-CB.

במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל לצלע אחרת של המשולש.
 
15.    ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השניה, חוצה את הצלע השלישית.
 
               הנתונים:             הקו הישר DE חוצה צלע אחת במשולש ABC. כלומר, CD=DB. כמו כן, קו זה מקביל לצלע BA. כלומר, DE || BA. 
           המסקנה:   הקו הישר DE חוצה גם את הצלע השלישית. כלומר, CE=EA.
 

 
דגשים:
           פועל יוצא מכך הוא המסקנה כי הקו הישר DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

 
           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל לצלע אחרת של המשולש.

 
 

16.    קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.
           הנתונים:             קצותיו של הקטע DE נמצאים על CB ו-CA, שתי צלעות המשולש ABC. כמו כן, DE || BA ובנוסף DE שווה למחצית הצלע AB. כלומר, DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר: DE*2 = BA.
           המסקנה:  הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

 
 
 
דגשים:
           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל לצלע אחרת של המשולש.

 
 

45.   שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.            הנתונים:             במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.

           המסקנה:  נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת התיכונים.
 
 
דגשים  ר' משפט

46.   נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 ,           כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר.
           הנתונים:             במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.
           המסקנה:  כל תיכון מחולק ביחס 1:2, כלומר: חלקו הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר. נדגים זאת באמצעות הנתונים בשרטוט: התיכון CG מחולק לשני קטעים: CF=4 ואילו FG=2. התיכון AD מחולק לשני קטעים: AF=10 ואילו FD=5. התיכון BE מחולק לשני קטעים: BF=6 ואילו FE=3.
דגשים  ר' משפט
 
 
47.   כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.            הנתונים:             הישר AD הוא חוצה זווית CAB.
           המסקנה:  הנקודה E על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית. כלומר, GE=EF.

 
 
 
דגשים  ר' משפט

 
48.   אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משתי שוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית.

           הנתונים:  הנקודה E על הישר AD במרחקים שווים משוקי הזווית. כלומר, GE=EF.
           המסקנה:             הישר AD הוא חוצה זווית CAB.

 

 

דגשים  ר' משפט
 
 
51.   כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.            הנתונים:             במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.
           המסקנה:  במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.
 
 
דגשים  המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע, ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 
 
 
52.   כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.

           הנתונים:  במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.            המסקנה:             במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.
 

 
דגשים  המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע, ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 

 
55.   שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.            הנתונים:             במשולש ABC נתונים הגבהים  AD, BE ו-CG לצלעות  BC, AC ו-AB בהתאמה.
           המסקנה:  נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת הגבהים.
 
 
דגשים  ר' משפט