הספר "ריבועי קסם"/ אהרן מוריאלי

  • 1) תוכן העניינים ורשימת ריבועי הקסם המוצגים בספר
    • הספר "ריבועי קסם" מוצג באופן מלא  באדיבותו של הסופר אהרן מוריאלי

      *** דף הסופר באתר "סימניה"

      "ריבועי קסם" הוא הספר הראשון והיחיד בסוגו בעברית בנושא ריבועי קסם.

      עד כה לא נכתב בעברית ספר על ריבועי קסם. ספר זה הוא אפוא הראשון והיחיד בסוגו בעברית.
      הוא כתוב בלשון השווה לכל נפש. התוכן אינו מחייב ידע מיוחד במתמטיקה.
      רמה של תלמיד ממוצע בכיתה ח' או ט' מספיקה בהחלט.
      הספר (217 עמודים) מתאר ריבועי קסם מסוגים שונים ומגדלים שונים,
      ובמקרים רבים הוא מנחה את הקורא כיצד לבנות אותם. כמו כן עומד הספר
      על ההיבט ההיסטורי של הנושא ומלווה את ההישגים המשמעותיים בשמות ובתאריכים.

       

      רשימת ריבועי הקסם המוצגים בספר

      ריבוע אוילר

      Eulerian square

      ריבוע אנטימגיק

      Antimagic square

      ריבוע ביגמג'יק

      Bigmagic square

      ריבוע גרקו-לטיני

      Graeco-Latin square

      ריבוע הטרומג'יק 

      Heteromagic square

      ריבוע טטרמג'יק

      Tetramagic square

      ריבוע טרימג'יק

      Trimagic square

      ריבוע לו שו

      Lou-Shu m.s.

      ריבוע לטיני

      Latin square

      ריבוע לטיני אורתוגונלי

      Orthongonal l. s.

      ריבוע לטיני דיאגנולי

      Diagonal l. s.

      ריבוע סיני

      Chinese m. s.

      ריבוע פנטמג'יק

      Pentamagic square

      ריבוע פרנקלין

      Franklinm. s.

      ריבוע קסם במספרים ראשוניים

      M.s of prime numbers

      ריבוע קסם בסיסי

      Basic m.s.

      ריבוע קסם גיאומטרי

      Geometric m. s.

      ריבוע קסם דומה לעצמו

      Self-similar m. s.

      ריבוע קסם דיאבולי

      Diabolic m. s.

      ריבוע קסם הודי

      Indian m. s.

      ריבוע קסם כל-אלכסוני

      Pandiagonal m. s.

      ריבוע קסם כל-אלכסוני למחצה

      Semi pandiagonal m. s.

      ריבוע קסם כפלי

      Multiplication m. s.

      ריבוע קסם לא סטנדרטי

      Non standard m. s.

      ריבוע קסם למחצה

      Semi m. s.

      ריבוע קסם מדולל

      Spare m. s.

      ריבוע קסם מקושר

      Associated m. s.

      ריבוע קסם משוכלל ביותר

      Most-perfect m. s.

      ריבוע קסם משלים

      Complementary m. s.

      ריבוע קסם מתמשך

      Continuous m. s.

      ריבוע קסם נאסיק

      Nasikm. s.

      ריבוע קסם סטנדרטי

      Standard m. s.

      ריבוע קסם סימטרי

      Symmetrical m. s.

      ריבוע קסם סכומי-כפלי

      Addition-multiplication m. s.

      ריבוע קסם פנמג'יק

      Panmagic m. s.

      ריבוע קסם רגיל

      Normal m. s

      ריבועי קסם ממוסגרים

      Bordered m. s.

      ריבועי קסם מקוננים

      Nested m. s.

      ריבועי קסם משובצים

      Inlaid m. s.

      ריבועי קסם פריקים

      Composite m. s.

      ריבועי קסם קונצנטריים

      Concentric m. s.

      ריבועים אורתוגונליים

      Orthogonal squares

      ריבועים מחופשים

      Disguised squares

      מעוין קסם

      Lozenge

  • 2) הגדרה: מהו ריבוע קסם?
    • הגדרת ריבוע הקסם:

      ריבוע הקסם הוא ריבוע משובץ המכיל מספרים המוצבים בטורים
      ובשורות, והוא מקיים את הדרישות הבאות:

      א) כל המספרים שונים זה מזה.
      ב) סכום המספרים אחיד בכל שורה, בכל טור ובכל אחד
      משני האלכסונים. סכום זה נקרא סכום הקסם של הריבוע,
      או במונח שגור יותר –הקבוע של ריבוע הקסם.
      הוא מסומן בדרך כלל באות S.

       

      אלו הן התכונות הבסיסיות של כל ריבוע קסם רגיל.
      לעתים יתווספו אליהן כמה תכונות קסם נוספות.


      מספר המשבצות בכל צלע של הריבוע נקרא סדר הריבוע.   הוא יסומן בדרך כלל
      באות
        n. אם למשל, צלע הריבוע מורכבת משלוש משבצות, אזי הוא ייקרא
      ריבוע קסם מסדר 3 ;
      ואם הצלע היא בת 4 משבצות, הוא ייקרא ריבוע קסם מסדר 4, וכן הלאה.


      אם תשעת המספרים בריבוע קסם מסדר 3, למשל, הם תשעת המספרים הטבעיים
      הראשונים, אזי הוא ייקרא ריבוע קסם סטנדרטי (או רגיל) מסדר 3.

  • 3) שיטות לבניית ריבועי קסם
    • מבחר שיטות לבניית ריבועי קסם
      בספר ניתנת הדגמה לשימוש בשיטות
      הנהוגות לבניית ריבועי קסם

       

      שיטת דה לה לוביר –  De La Loubere method
      שיטת בנייה של ריבועי קסם אי-זוגיים, שבה דרך ההתקדמות היא
      באלכסון לאחד מארבעת הכיוונים.

       

      שיטת המדרגות –    Scale method
      שיטה לבניית ריבועי קסם אי-זוגיים, שבה n סדרות של
      מספרים, שכל אחת מהן מכילה n מספרים,
      מסודרות ב
      צורה אלכסונית, כך שחלק מהמספרים של חלק
      מהסדרות יהיה מחוץ
      לריבוע, כשלב ראשון בבנייה.
      מייחסים אותה למתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-17
      באשה דה מזיריאק.

       

      שיטת לוקס –  LUX method
      שיטת לבניית ריבועי קסם מסדר זוגי-אי-זוגי.
      מתחילה בסידור מיוחד של ארבעה מספרים בגושים של 2X2
      ואחר כך בונים את הריבוע מגושים אלה בשיטת דה לה לוביר.
      הומצאה על ידי המתמטיקאי האנגלי ג'ון קונווי והיא נקראת
      לפעמים על שמו.

       

      שיטת סטרייצ'י – Strachey method
      שיטה לבניית ריבועי קסם זוגיים-אי-זוגיים

       

       שיטת קונווי – Conway method
      ראה: שיטת לוקס.

  • 4) שיקופים וסיבובים של ריבועי קסם 3X3
    • ההסתכלות על ריבועי הקסם איננה חייבת להיות חד-כיוונית. אפשר לשנות את נקודות המבט עליהם תוך שמירה על המקום היחסי של המספרים בתוכם. עושים זאת באמצעות שתי אופרציות בסיסיות:
      א) סיבוב הריבוע ב- 90, ב-
      180, וב-270,  ובכך מקבלים עוד 3 היבטים.
      ב) שיקוף הריבוע, כאילו עמדה מראה בין הריבוע המקורי לבין בבואתו,
          ובכך מקבלים עוד 4 היבטים שלו.

      ריבוע קסם מסדר 3

      6

      1

      8

      7

      5

      3

      2

      9

      4

      א1) סיבוב הריבוע ב- 90 מעלות

      8

      3

      4

      1

      5

      9

      6

      7

      2

      א2) סיבוב הריבוע ב-180 מעלות

      4

      9

      2

      3

      5

      7

      8

      1

      6

      א3) סיבוב הריבוע ב-270 מעלות

      2

      7

      6

      9

      5

      1

      4

      3

      8

      ב) שיקוף ריבוע הקסם המקורי מסדר 3

       

       

      2

      9

      4

      7

      5

      3

      6

      1

      8

       

  • 5) ריבועי קסם 3X3 להדפסה
    • ריבועי קסם בחשבון 3X3 להדפסה:

       

      4

      9

      2

      3

      5

      7

      8

      1

      6

       

       

      6

      7

      2

      1

      5

      9

      8

      3

      4

       

       

      4

      3

      8

      9

      5

      1

      2

      7

      6

       

       

      9

      14

      7

      8

      10

      12

      13

      6

      11

       

       

      14

      34

      6

      10

      18

      26

      30

      2

      22

       

       

      13

      28

      7

      10

      16

      22

      25

      4

      19

       

  • 6) ריבועי קסם 4X4 להדפסה
    • ריבועי קסם בחשבון 4X4 להדפסה:

       

      13

      3

      2

      16

      8

      10

      11

      5

      12

      6

      7

      9

      1

      15

      14

      4

       

       

      4

      14

      15

      1

      9

      7

      6

      12

      5

      11

      10

      8

      16

      2

      3

      13

       

       

      15

      16

      2

      1

      3

      4

      14

      13

      6

      9

      7

      12

      10

      5

      11

      8

       

       

      15

      6

      12

      1

      4

      9

      7

      14

      5

      16

      2

      11

      10

      3

      13

      8

       

       

      13

      8

      12

      1

      2

      11

      7

      14

      3

      10

      6

      15

      16

      5

      9

      4

       

  • 7) הדגמה רחבה של ריבועי קסם מסוגים שונים
    • ריבוע-קסם מסדר 3 שנבנה בסין בתאריך לא ידוע לפני הספירה.
      נקרא גם ריבוע סיני.

      2

      9

      4

      7

      5

      3

      6

      1

      8

       

       

    • ריבוע קסם המורכב ממספרים טבעיים מ-1 עד  n בריבוע ,
      ומתקיימות בו התכונות הבסיסיות בלבד ללא תכונות קסם נוספות.
      נקרא גם ריבוע קסם רגיל.

      6

      1

      8

      7

      5

      3

      2

      9

      4

    • ריבוע שהמספרים שבו אינם דווקא המספרים הטבעיים הראשונים,
      אלא מספרים שונים, לאו דווקא עוקבים.

      9

      14

      7

      8

      10

      12

      13

      6

      11

       

       

    • 4

      14

      15

      1

      9

      7

      6

      12

      5

      11

      10

      8

      16

      2

      3

      13

       

       

    • ריבוע קסם, שבו צלע הריבוע מורכבת ממספר אי-זוגי של משבצות.
      ריבוע הקסם הנ"ל הוא ריבוע קסם מסדר 5.

      15

      22

      9

      16

      3

      2

      14

      21

      8

      20

      19

      1

      13

      25

      7

      6

      18

      5

      12

      24

      23

      10

      17

      4

      11

       

       

    • ריבוע קסם, שבו השורות והטורים בלבד מסתכמים בקבוע, אבל לא
      שני האלכסונים, או אפילו לא אחד מהם.
       

      3

      21

      19

      12

      10

      9

      2

      25

      18

      11

      15

      8

      1

      24

      17

      16

      14

      7

      5

      23

      22

      20

      13

      6

      4

       

       

    • ריבוע קסם שבו סכום זוגות המספרים הנמצאים במרחק שווה וסימטרי
      ממרכז הריבוע שווה לסכומם של המספר הראשון והאחרון של הריבוע,
      דהיינו n2+1.

      ריבוע כזה נקרא גם ריבוע מקושר.
      בריבועים סימטריים מסדר אי-זוגי משבצת המרכז תהיה תפוסה תמיד
      על ידי המספר האמצעי של הסדרה כולה.
      על כן סכום כל זוג סימטרי יהיה פי שניים מהמספר המרכזי.
      יוצא שסכום כל שני זוגות כאלה ביחד עם המספר המרכזי יהיו שווים
      לקבוע של הריבוע.
      בריבועים מסדר זוגי סכום המספרים של כל זוג סימטרי שווה לסכומם
      של המספר הראשון והאחרון של הריבוע.
      בקרב הריבועים הזוגיים-אי-זוגיים אין ריבועים סימטריים כלל.

      4

      14

      15

      1

      9

      7

      6

      12

      5

      11

      10

      8

      16

      2

      3

      13

       

       

    • ריבוע קסם רגיל שנוספה לו התכונה שגם זוגות האלכסונים השבורים
      מסתכמים בקבוע של הריבוע. בריבוע כזה יש 4n קבוצות מספרים
      המסתכמים בקבוע (n שורות, n טורים ו-2n אלכסונים, כולל השבורים).
      אין ריבוע כל-אלכסוני מסדר זוגי-אי-זוגי.
      לריבוע זה כמה שמות נרדפים: הודי, פנמג'יק, דיאבולי (שטני),
      נאסיק וג'איינה.
       

      15

      6

      12

      1

      4

      9

      7

      14

      5

      16

      2

      11

      10

      3

      13

      8

       

       

    • בריבוע מסדר אי-זוגי שני האלכסונים הקצרים הנגדיים,
      שכוללים n-1 משבצות, מסתכמים ביחד עם המספר המרכזי בקבוע.
      אם שני האלכסונים הקצרים כוללים n+1 משבצות, הרי סכומם מינוס
      המספר המרכזי מסתכם בקבוע. בריבוע מסדר זוגי שני האלכסונים
      הקצרים הנגדיים מכילים מ משבצות וסכומם הוא הקבוע.

      12

      14

      7

      1

      3

      5

      16

      10

      6

      4

      9

      15

      13

      11

      2

      8

       
    • 8

      58

      59

      5

      4

      62

      63

      1

      49

      15

      14

      52

      53

      11

      10

      56

      41

      23

      22

      44

      45

      16

      18

      48

      32

      34

      35

      29

      28

      38

      39

      25

      40

      26

      27

      37

      36

      30

      31

      33

      17

      47

      46

      20

      21

      43

      42

      24

      9

      55

      54

      12

      13

      51

      50

      16

      64

      2

      3

      61

      60

      6

      7

      57

       

       

    • ריבוע כל-אלכסוני מסדר זוגי-זוגי שמתווספות לו שתי תכונות:
      א) סכום כל גוש משבצות של 2X2 (כולל אלה החורגים מהריבוע,
          לפי עקרון הגלילים), הוא
      2n2+2.
      ב) סכום כל זוג מספרים שעל האלכסונים (כולל האלכסונים השבורים)
          המרוחקים n/2 זה מזה הוא n2+1.

       

      44

      37

      60

      53

      32

      17

      16

      1

      22

      27

      6

      11

      34

      47

      50

      63

      42

      39

      58

      55

      30

      19

      14

      3

      24

      25

      8

      9

      36

      45

      52

      61

      33

      48

      49

      64

      21

      28

      5

      12

      31

      18

      15

      2

      43

      38

      59

      54

      35

      46

      51

      62

      23

      26

      7

      10

      29

      20

      13

      4

      41

      40

      57

      56

       

       

    • 12

      134

      135

      9

      8

      138

      139

      5

      4

      142

      143

      1

      121

      23

      22

      124

      125

      19

      18

      128

      129

      15

      14

      132

      109

      35

      34

      112

      113

      31

      30

      116

      117

      27

      26

      120

      48

      98

      99

      45

      44

      102

      103

      41

      40

      106

      107

      37

      60

      86

      87

      57

      56

      90

      91

      53

      52

      94

      95

      49

      73

      71

      70

      76

      77

      67

      66

      80

      81

      63

      62

      84

      61

      83

      82

      64

      65

      79

      78

      68

      69

      75

      74

      72

      96

      50

      51

      93

      92

      54

      55

      89

      88

      58

      59

      85

      108

      38

      39

      105

      104

      42

      43

      101

      100

      46

      47

      97

      25

      119

      118

      28

      29

      115

      114

      32

      33

      111

      110

      36

      13

      131

      130

      16

      17

      127

      126

      20

      21

      123

      122

      24

      144

      2

      3

      141

      140

      6

      7

      137

      136

      10

      11

      133

       

       

    • הצורה הכללית של ריבוע קסם כזה היא 2(2k+1).
      יוצא שהריבוע הקטן ביותר מסוג זה הוא הריבוע מסדר 6, עבור k=1.
       

      6

      32

      3

      34

      35

      1

      7

      11

      27

      28

      8

      30

      19

      14

      16

      15

      23

      24

      18

      20

      22

      21

      17

      13

      25

      29

      10

      9

      26

      12

      36

      5

      33

      4

      2

      31

       

       

    • ריבוע שבו הזוגות המשלימים נמצאים משני עבריו של הקו המרכזי
      המאוזן או המאונך. אם משלימים כל מספר שבו לסכום של1+n2,
      נקבל ריבוע חדש שהוא שיקוף אנכי או מאוזן של המקור.
      כיוון שבריבוע הסימטרי זוגות אלה נמצאים משני עבריהם של שני
      הקווים המרכזיים, תוצאת ההשלמה תהיה גם שיקוף אנכי וגם מאוזן של
      המקור. במילים אחרות, הריבוע החדש יהיה סיבוב של המקור ב-1800.
       

      7

      14

      12

      1

      11

      2

      8

      13

      6

      15

      9

      4

      10

      3

      5

      16

       

       

    • ריבוע מסדר n שמכיל n  סמלים המסודרים כך שהם מופיעים
      אך ורק פעם אחת בכל שורה ובכל טור.
      ריבוע לטיני כזה נקרא גם ריבוע לטיני אורתוגונלי.
      אם תנאי זה מתקיים גם לגבי האלכסונים הוא ייקרא
      ריבוע לטיני דיאגונלי.
      מערכת של שני ריבועים לטיניים דיאגונליים משמשת לפעמים
      לבניית ריבועי קסם.
       

      4

      3

      2

      1

      0

      3

      2

      1

      0

      4

      2

      1

      0

      4

      3

      1

      0

      4

      3

      2

      0

      4

      3

      2

      1

       

       

    • ריבוע שנוצר מהנחת ריבוע לטיני אחד מסדר n
      על גבי ריבוע לטיני אחר מאותו סדר כך שסמל אחד מהריבוע הראשון
      מופיע אך ורק פעם אחת ויחידה עם סמל אחר של הריבוע השני.
      לפנים נהגו להשתמש באותיות יווניות כסמלים בריבוע אחד
      ובאותיות לטיניות בריבוע השני. משום כך קראו לריבוע המשותף בשם
      גרקו-לטיני. כיוון שכך נהג המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר,
      קראו לריבוע כזה גם ריבוע אוילר.
      כיום משתמשים למען הנוחות באותיות רישום לטיניות בצד
      אותיות זעירות במקום שני סוגי האותיות האלה. הריבוע
      הגרקו-לטיני משמש לעתים לבניית ריבועי קסם רגילים
      על-ידי הצבת מספרים במקום אותיות.

    •  
       

      4

      3

      2

      1

      0

      2

      1

      0

      4

      3

      0

      4

      3

      2

      1

      3

      2

      1

      0

      4

      1

      0

      4

      3

      2

       

       

    • סוג של ריבועי קסם מסדרים שונים, בעיקר מסדר 8 ומסדר 16 שנבנו
      על ידי המדען והדיפלומט האמריקאי בנג'מין פרנקלין.
      מאופיין בקומבינציות רבות שמסתכמות בקבוע. החשובות והמיוחדות
      שבהן הן האלכסונים המכופפים.
      ריבועים אלה נחשבים לריבועי קסם למחצה, כיוון שהאלכסונים
      סבום השורות והטורים שבריבוע הוא 260, אך סכומו של אחד האלכסונים
      הוא 260+32 וסכומו של האלכסון השני הוא 260-32. במובן זה, זהו ריבוע קסם למחצה.
      לריבוע זה תכונות רבות נוספות הנסקרות בספר החל מעמוד 97.

      45

      36

      29

      20

      13

      4

      61

      52

      19

      30

      35

      46

      51

      62

      3

      14

      44

      37

      28

      21

      12

      5

      60

      53

      22

      27

      38

      43

      54

      59

      6

      11

      42

      39

      26

      23

      10

      7

      58

      55

      24

      25

      40

      41

      56

      57

      8

      9

      47

      34

      31

      18

      15

      2

      63

      50

      17

      32

      33

      48

      49

      64

      1

      16

       

       

    • ריבוע קסם שהקבוע שלו הוא מכפלת המספרים שלאורך השורות,
      הטורים והאלכסונים. נקרא גם ריבוע קסם גיאומטרי.
      קיימות שיטות שונות לבניית ריבועי קסם כפליים:
      א. שיטת הסדרה הגיאומטרית.
      ב. שיטת דה לה-היר ומעריכי החזקות.
      ג. שיטת היחס.
      ד. שיטת הגורמים.
       

      32

      1

      128

      64

      16

      4

      2

      256

      8

       

       

    • ריבוע קסם שיש לו שני קבועים:
      קבוע רגיל וקבוע שהוא המכפלה של המספרים בשורות,
      בטורים באלכסונים.
       

      203

      200

      76

      15

      102

      117

      81

      46

      78

      153

      69

      54

      175

      232

      60

      19

      75

      58

      90

      171

      52

      17

      161

      216

      68

      13

      189

      184

      87

      50

      114

      135

      27

      92

      136

      91

      38

      45

      261

      150

      30

      57

      225

      174

      23

      108

      104

      119

      207

      162

      26

      51

      120

      133

      25

      116

      152

      105

      29

      100

      243

      138

      34

      39

       

       

    • 372

      412

      292

      682

      322

      792

      312

      172

      612

      232

      282

      592

      492

      82

      772

      112

       

       

    • כאשר מעלים את המספרים שבתוך ריבוע קסם מסוים לחזקה שנייה,
      והריבוע ממשיך לשמור על תכונותיו כריבוע קסם, אזי הוא נקרא
      ביגמג'יק, ואם מעלים את המספרים לחזקה שלישית, אזי הוא נקרא
      ריבוע טרימג'יק, לחזקה רביעית – נקרא טטרמג'יק,
      לחזקה חמישית – נקרא פנטמג'יק, וכן הלאה עד ימינו אלה.
      ריבוע הביגמגי'ק הקטן ביותר הוא מסדר 8, ואילו ריבוע הטרימג'יק הקטן
      ביותר הוא מסדר 16.

       

      31

      9

      47

      18

      57

      8

      34

      56

      10

      59

      29

      7

      48

      54

      20

      33

      49

      4

      38

      64

      23

      13

      43

      26

      60

      46

      12

      53

      30

      35

      5

      19

      40

      50

      24

      41

      2

      63

      25

      15

      45

      32

      58

      36

      11

      17

      55

      6

      22

      39

      1

      27

      52

      42

      16

      61

      3

      21

      51

      14

      37

      28

      62

      44

       
    • נציג שיטה מיוחדת לבניית ריבוע מג'יק מסדר 9, שנעזרת בשתי טבלאות
      מיוחדות של סודוקו. טבלת הסודוקו, כידוע, היא טבלה של 9X9 משבצות
      שבכל שורה ובכל טור שלה מופיעים כל המספרים מ-1 עד 9. יתרה מזו,
      טבלה זו מחולקת לתשעה ריבועים של 3X3, שבתוך כל אחד מהם חייבים
      מספרים אלה להופיע. אלה הן התכונות הבסיסיות שכל טבלת סודוקו
      חייבת לעמוד בהן.
      שתי הטבלאות שלנו נבדלות מטבלת סודוקו רגילה בשני דברים:
      א) גם שני האלכסונים מכילים את תשעת המספרים.
      ב) אם מעבירים טור אחד או יותר מצד אחד לצד הנגדי לא יפגע הדבר
          בתכונות הבסיסיות של הטבלה, וכן אם נעביר שורה אחת או יותר
          מצד אחד לצד הנגדי. גם תשעת הריבועים הקטנים לא יאבדו את
          התכונה הבסיסית שלהם על-ידי פעולות אלה.

      הדוגמאות של טבלות הסודוקו בעמוד 127, ציור 20.

    • 144

      123

      112

      104

      83

      79

      66

      62

      41

      33

      22

      1

      136

      26

      100

      30

      38

      52

      93

      107

      115

      45

      119

      9

      70

      4

      110

      97

      88

      131

      14

      57

      48

      35

      141

      75

      71

      137

      39

      96

      133

      102

      43

      12

      49

      106

      8

      74

      5

      44

      21

      103

      85

      108

      37

      60

      42

      124

      101

      140

      23

      69

      3

      59

      78

      19

      126

      67

      86

      142

      76

      122

      90

      118

      50

      10

      15

      56

      89

      130

      135

      95

      27

      55

      13

      28

      77

      54

      134

      46

      99

      11

      91

      68

      117

      132

      72

      81

      143

      24

      36

      113

      32

      109

      121

      2

      64

      73

      87

      47

      61

      29

      7

      129

      16

      138

      116

      84

      98

      58

      65

      111

      40

      139

      53

      18

      127

      92

      6

      105

      34

      80

      94

      82

      114

      125

      120

      17

      128

      25

      20

      31

      63

      51

       

       

    • ריבוע קסם המכיל אך ורק מספרים ראשוניים
       

      17

      89

      71

      113

      59

      5

      47

      29

      101

       

       

    • ריבוע קסם המכיל אך ורק מספרים ראשוניים עוקבים

      41

      97

      83

      37

      73

      71

      61

      53

      43

      59

      67

      89

      101

      31

      47

      79

       
       
    • הסכומים של השורות, הטורים והאלכסונים גם הם מספרים ראשוניים,
      והסכום של כל תשע המשבצות (439) הוא מספר ראשוני גם כן.
      (סכום כל אלכסון הוא 167)

      167

       

       

       

      109

      41

      37

      31

      173

      61

      59

      53

      157

      47

      43

      67

      137

      139

      139

      151