4. משולש ישר זווית ומשפט פיתגורס – הדגמה ויזואלית של המשפטים בגיאומטריה לבגרות

  1. משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

  הנתונים:  משולש ישר-זווית ABC.   המסקנה:  סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר: (הניצב בריבוע) + (הניצב בריבוע) = (היתר בריבוע), AB)2+(BC)2=(AC)2) .   דגשים  המשפט שימושי בהחלט גם בנושאים מתקדמים (פרופורציה ודמיון), שכן לעיתים שימוש בו יכול להיות קל יותר מאשר שימוש ביחסי פרופורציה בין משולשים דומים.

  1. משפט פיתגורס ההפוך: משולש בו סכום ריבועי שתי הצלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

  הנתונים:  משולש ABC. סכום ריבועי שתי הצלעות, AB ו-BC, שווה לריבוע הצלע השלישית, AC, כלומר: AB)2+(BC)2=(AC)2) . המסקנה:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית. דגשים  ר' משפט.

  1.   במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

הנתונים:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית. AD תיכון ליתר BC (כלומר, BD=CD).   המסקנה:  התיכון AD שווה למחצית היתר, כלומר: AD=BD=DC. דגשים: אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900 התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים. .

  1.   משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.

הנתונים:  במשולש ABC, התיכון AD לצלע BC, שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה. כלומר, AD=BD=DC.   המסקנה:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית. דגשים: אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900 התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים. .

  1.   אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.

הנתונים:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית. גודלה של הזווית החדה  A הוא 30.   המסקנה:  הניצב מול הזווית החדה שגודלה 300, שווה למחצית היתר. כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC. דגשים: ר' משפט

  1.   אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30.

הנתונים:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית. הניצב BC שווה למחצית היתר AC. כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC. המסקנה:  גודלה של הזווית החדה מול ניצב זה, זווית A, הוא 300. דגשים: ר' משפט

  1. במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

הנתונים:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.   המסקנה: 

  1. הניצב AC הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל

CD, היטל ניצב זה על היתר. AC)2=BC*CD)

  1. הניצב AB הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל

BD, היטל ניצב זה על היתר. AB)2=BC*BD) דגשים  ר' משפט

  1. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

הנתונים:  משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.   המסקנה:  הגובה AD הוא ממוצע הנדסי של BD ושל CD,  שהם היטלי הניצבים (AB ו-AC בהתאמה)  על היתר BC. AD)2=BD*CD)     דגשים  ר' משפט